Lecture Notes on Causal Inference
在之前，我们一直讨论的因果推理并没有包含时间这一维度。那么现在我们加入时间这一维度，针对treatment group，我们假设从时刻 t 开始，才对其开始施加treatment。对于control group，则始终不对其施加treatment
此外，我们还需要引入一个新的概念 Average Treatment Effect on the Treated (ATT)。相比与ATE，ATT对数据进行condition，表示condition之后的causal effect，具体表示如下
以上是没有包含时间的ATT，如果把时间考虑进来，此时假设 Y(0) 与 T 不再相互独立，我们用$E[Y_i\vert T=1]$表示时刻 i 对应的数值。时刻 i 下的ATT计算式变为 $E[Y_i (1) - Y_i (0)\vert T=1]$ 。对于计算式中的第一项 $E[Y_i(1)\vert T=1]$ ，我们可以直接从观测数据中获取。对于计算机中的第二项 $E[Y_i(0)\vert T=1]$ ，则需要通过本章节介绍的 dif-in-dif 方法求解
从上节Motivation中可以看出，dif-in-dif方法用来求解包含时间的ATT中，无法通过观测而获得的 $E[Y_i(0)\vert T=1]$ 这一项。具体求解的方法是利用control group。
因为control group全程没有施加treatment，所以我们可以得到无treatment时，实验对象的变化情况，即 $E[Y_1 \vert T = 0] - E[Y_0 \vert T = 0]$ ，我们假设treatment group 在没有施加treatment时，同样按照该趋势变化，所以我们就可以得到 $E[Y_i(0)\vert T=1]$ ，即
\[E[Y_i(0)\vert T=1] = E[Y_0 \vert T = 1] - (E[Y_1 \vert T = 0] - E[Y_0 \vert T = 0])\]上述式子第一项是初始时刻 treatment group 的观察数据，第二项是control group的变化情况。在得到该项之后，我们就可以很自然地求出时刻 t=1 下的ATT，即
\[ATT_i = (E[Y_1 \vert T = 1] - E[Y_0 \vert T = 1]) - (E[Y_1 \vert T = 0] - E[Y_0 \vert T = 0])\]我们可以发现，此时的计算式为 treatment group 的时间差减去 control group的时间差。正因为此，该方法被称为difference-in-difference，意为两差相减。这种方法还可以去除常数级 confounder 对结果的影响
为了使用dif-in-dif方法，我们需要做一定的假设来进行条件约束
基于这些假设，我们来证明 dif-in-dif 可以用来求某时刻下的 ATT，即 $ATT_i = (E[Y_1 \vert T = 1] - E[Y_0 \vert T = 1]) - (E[Y_1 \vert T = 0] - E[Y_0 \vert T = 0])$
首先我们将某时刻下的ATT展开，可得到
\[ATT_i = E[Y_1(1) - Y_1(0) \vert T = 1] = E[Y_1 \vert T = 1] - E[Y_1(0) \vert T = 1]\]利用Parallel Trends Assumption，我们替换掉上式中的 $E[Y_1(0) \vert T = 1]$ ，可得到
\[ATT_i = E[Y_1 \vert T = 1] -(E[Y_0(0) \vert T = 1] + E[Y_1 \vert T = 0] - E[Y_0 \vert T = 0])\]利用No Pretreatment Effect Assumption，我们替换上式的 $E[Y_0(0) \vert T = 1]$ ，将其变为 $E[Y_0(1) \vert T = 1]$ 。最后利用consistency assumption 化简合并，即可得到 dif-in-dif 的数学表达式，完成证明。