Lecture Notes on Causal Inference
在之前的(T,W,Y)例子中，还可能存在潜在原因U同时作用与T和Y。此时，不存在未观察到的Confounding这样一种假设是不现实的。如果还是基于这种unconfoundedness假设，那么我们indentify的其实是一个point (一个具体的值)，而如果我们做一些更弱的假设，则此时我们indentify的是一个区间。在这里，我们来确定不同假设下该区间的范围，即为bounds
在这里，我们假设所有的potential outcomes都具有统一的bound，即 $\forall t, a\le Y(t) \le b$
由此我们可以得到 $a-b\le E[Y(1)-Y(0)] \le b-a$ ，整个区间的长度为 2(b-a) 。我们可以通过Observational-Counterfactual Decomposition来进一步压缩区间长度。首先我们用 $\pi$ 来表示 P(T=1)，根据定义展开ATE，可得到
其中，展开后的第一项和第四项称为 observation term，可以从观察结果中直接计算得到。而第二项和第三项称为 Counterfactual term，无法通过计算得到。为此，我们保留observation term，将counterfactual term替换为(a,b) bound 区间。此时我们可以得到
\[E[Y(1)-Y(0)]\le \pi E[Y\vert T=1]+(1-\pi) b -\pi a-(1-\pi) E[Y\vert T=0]\] \[E[Y(1)-Y(0)]\ge \pi E[Y\vert T=1]+(1-\pi) a -\pi b-(1-\pi) E[Y\vert T=0]\]我们可以发现，此时 E[Y(1)-Y(0)] 的区间长度被压缩到了 b-a
Monotone Treatment Response (MTR)
这个假设是指，我们假设treatment永远有帮助，即 $\forall i,\ Y_i(1) \ge Y_i(0)$
基于此假设，我们可以得到 $E[Y(1)\vert T=0]\ge E[Y\vert T=0]$ ，再结合Observational-Counterfactual Decomposition 得到的式子，我们可以将区间的下限提升至0，即 $E[Y(1)-Y(0)]\ge 0$
同样，如果我们假设treatment永远帮倒忙，则是将区间的上限降至0
Monotone Treatment Selection (MTS)
这个假设是指，假设treatment group的潜在结果永远比control group结果更好，即 $E[Y (1) \vert T = 1] \ge E[Y (1) \vert T = 0], \ E[Y (0) \vert T = 1] \ge E[Y (0) \vert T = 0]$ ，再结合Observational-Counterfactual Decomposition 得到的式子，我们可以得到区间的上界，即 $E[Y(1)-Y(0)]\le E[Y\vert T=1]-E[Y\vert T=0]$
OST1
这个假设是指，我们假设每个个体永远接受最好的treatment，即 $T_i=1 \Rightarrow Y_i(1) \ge Y_i(0), \ T_i=0 \Rightarrow Y_i(0) > Y_i(1)$
基于此假设，我们可以得到 $E[Y(1)\vert T=0]\le E[Y\vert T=0], \ E[Y (0) \vert T = 1] \le E[Y \vert T = 1]$ ，再结合展开式子，我们可以得到
\[E[Y(1)-Y(0)]\le \pi E[Y\vert T=1]-\pi a\] \[E[Y(1)-Y(0)]\ge (1-\pi)a - (1-\pi) E[Y\vert T=0]\]OST2
以上提到的假设，都使得ATE区间包含0，即无法indentify ATE的符号。为此我们结合OST1假设及其逆否命题，得到OST2假设，可确定区间内的值均为正或负。
在OST2假设中，我们可以得到 $E[Y (1) \vert T = 0] \le E[Y \vert T = 1]$ 。该关系的证明如下：
首先利用OST1中的假设，我们有 $E[Y (1) \vert T = 0] = E[Y (1) \vert Y_i(0)>Y_i(1)] \le E[Y (1) \vert Y_i(0)\le Y_i(1)]$
在结合OST1假设的逆否命题，我们有 $E[Y (1) \vert Y_i(0)\le Y_i(1)] = E[Y(1)\vert T=1]$
结合以上两个式子，即可得到 OST2 假设的内容， $E[Y (1) \vert T = 0] \le E[Y \vert T = 1]$
在知道这个假设之后，我们结合展开式化简，可以得到对应的区间上下界，即
\[E[Y(1)-Y(0)]\le E[Y\vert T=1]-\pi a - (1-\pi)E[Y\vert T=0]\] \[E[Y(1)-Y(0)]\ge \pi E[Y\vert T=1]+(1-\pi) a - E[Y\vert T=0]\]总的来说，具体使用哪种假设取决于具体问题。在有的问题里，某些假设可能完全没有意义，而在其他问题里，又可能是最合适的假设 (区间范围最小等)。因此需要具体情况具体分析
正如之前所提到的 (T,W,U,Y) 例子，真实的causal effect应该是 $E_{W,U}[…]$ ，而因为我们无法观测到U，实际上我们计算的是 $E_{W}[…]$ ，这就导致了偏差的产生。sensitivity analysis 就是为了分析这样一种偏差程度
Linear Single Confounder
我们主要考虑最简单的一种情况，即线性关系下的敏感性分析。
我们定义 $T:=\alpha_w W+\alpha_u U$ 和 $Y:=\beta_w W+\beta_u U + \delta T$ 。
在理想情况(全知全能)下，causal effect 就是 $\delta$ ，我们的目的也就是恢复 $\delta$ 。
而近似情况下，$E_W[…] = \delta + \frac{\beta_u}{\alpha_u}$
此时的偏置值 (bias) 为近似减真实，即 $E_W[…]-E_{W,U}[…]=\beta_u / \alpha_u$
对应的causal effect可视为 $\delta = Constant-\beta_u / \alpha_u$ ，我们也可以借此找到 causal effect>0 的分界线。根据 $\beta_u - 1/\alpha_u$ 坐标轴作图找分界线的方式也称为 contour plot，经常应用于敏感性分析。
接下来是上述公式的证明
以上是最简单形式的 Linear SCM，for arbitrary estimands in arbitrary graphs, where the structural equations are still linear，对应的参考文献为 Sensitivity Analysis of Linear Structural Causal Models” from Cinelli et al. (2019)
其他更广泛形式下的敏感性分析方法见课后参考文档