Lecture Notes on Causal Inference
Conditioning vs. intervening
对于Interventional distributions，通常可记作
\[P(Y (t) = y) \triangleq P(Y = y \vert do(T = t)) \triangleq P(y \vert do(t))\]在 Identification 的过程中，我们借助 Causal model 将 \(P(y\vert do(t))\) 转化为 \(P(y\vert t)\) (这是在没有confounder的情况下)。前者可由实验获取，后者可由观察数据获取。
在这里我们引入一个重要的假设，我们假设 the causal mechanisms are modular
具体来说，在DAG中，如果我们 intervene on node \(X_i\)，则只改变\(P(x_i\vert parent(x_i))\)。对于其他 \(j \neq i\) 的节点，\(P(x_j\vert parent(x_j))\)保持不变。
也就是说，我们通过do operation，对选取的intervene节点 \(X_i\)，将其概率\(P(x_i\vert parent(x_i))\)直接设置为1，而不再关注父节点对其的影响。(注意，这里为了一致性，我们需要保证\(x_i\)就是do operation中\(X_i\)被设置的值，否则概率为0)
该假设还有其他称呼：independent mechanisms, autonomy, invariance, etc.
基于这种假设，我们可以得到对应的数学表达形式，即
\[P(x_1,x_2,...,x_n\vert do(S=s)) = \prod_{i\neq S}P(x_i\vert parent(x_i))\]回到 introduction中的例子，X 共同影响 T 和 Y，T 影响 Y，此时
\[P(y\vert do(t)) = \sum_xP(y,x\vert do(t)) = \sum_xP(x)P(y\vert t,x)\]而
\[P(y\vert t) = \sum_xP(y,x\vert t) = \sum_xP(x\vert t)P(y\vert t,x)\]可以看出\(P(y\vert do(t))\neq P(y\vert t)\)，这也从另一个角度说明了Association not equal causation
我们可以通过do-operation来消除其他原因产生的影响，但我们想从观测数据出发，就需要利用条件概率。这也引出了backdoor adjustment
我们首先定义 backdoor criteria。对于由 T 到 Y 的因果关系，假设存在一组其他变量W，backdoor criteria的要求是
我们可以利用该标准，来选择 conditional exchangeability 假设中的条件。那么，结合 Modularity 假设和满足 backdoor criteria 的 W，We can identify the causal efftec of T on Y，即
\[P(y \vert do(t)) = \sum_w P(y | t, w) P(w)\]这个式子即为 backdoor adjustment
在因果推理中，等号并不能传递任何的因果信息。那么，为了表示 A 是 B 的一个原因，我们用结构方程来表示，即 \(B:=f(A)\)
为了提升泛化能力，我们在这里增加一项U，表示可能存在的隐藏原因，即\(B:=f(A, U)\)
在结构化因果模型(SCMs)中，我们用一系列这样的方程来进行建模。其中，直接原因称为endogenous variables，而可能存在的隐藏原因称为exogenous variables
在 Interventional SCM 中，我们需要改写部分结果对应的方程，例如从\(T := f_T (X, U_T)\) 变到 \(T:=t\)。we get this by performing the intervention do(T = t).
在建立 SCM 之后，我们再回头看之前定义的 backdoor criteria 第二条，为什么不能对子节点进行条件处理呢？有两种可能